Bonsoir, j'ai besoin d'aide pour cet exercice svp. Soit p ∈ Z et q ∈ N* Soit f le polynôme défini sur R par [tex]f(X) = 2x^{3} +5x^{2} +5x+3[/tex] 1 - montrer q

Bjr,

1. prenons p/q une fraction irréductible et supposons que ce soit une racine de f, cela veut dire que

[tex]f(\dfrac{p}{q})=0\\\\2\dfrac{p^3}{q^3}+5\dfrac{p^2}{q^2}+5\dfrac{p}{q}+3=0\\\\2p^3+q(5p^2+5pq+3q^2)=0\\\\2p^3=-q(5p^2+5pq+3q^2)[/tex]

cela veut dire que q divise 2p*p*p et comme p/q est irréductible q ne divise pas p donc q divise 2

de même

[tex]f(\dfrac{p}{q})=0\\\\2\dfrac{p^3}{q^3}+5\dfrac{p^2}{q^2}+5\dfrac{p}{q}+3=0\\\\2p^3+5p^2q+5pq^2+3q^3=0\\\\3q^3=-p(2p^2+5pq+5q^2)[/tex]

cela veut dire que p divise 2q*q*q et comme p/q est irréductible p ne divise pas q donc p divise 3

2.

sur Z,

les diviseurs de 2 sont 1, 2, -1, -2

les diviseurs de 3 sont 1, 3, -1, -3

du coup, cela donne les racines rationnelles potentielles suivantes

1, -1. 1/2, -1/2, 3, -3, 3/2, -3/2

on calcule et on trouve que -3/2 est une racine, c'est la seule racine rationnelle de f, contrairement à ce que demande l 'énoncé

x f(x)

1 15

-1 1

0.5 7

-0.5 1.5

3 117

-3 -21

1.5 28.5

-1.5 0

Merci