Bonjour besoin d'aide svp voici la question ci-dessous Exo : Soit f la fonction définie sur R par f(x)=In (1 +e^x) et Cf, sa courbe représentative dans un repèr
Question
Exo : Soit f la fonction définie sur R par f(x)=In (1 +e^x) et Cf,
sa courbe représentative dans un repère.
1. a. Étudier les limites de f en –oo et en +oo.
b. La courbe Cf admet-elle une asymptote horizontale ?
2. Dresser le tableau de variation de f.
3. Démontrer que l'équation f(x)=m admet une unique
solution pour tout réel m strictement positif.
4. Déterminer une équation de la tangente T à la courbe Cf
au point d'abscisse 0.
5. Démontrer que la courbe Cf est située au-dessus de la droite d d'équation y=x.
6. Construire la courbe Cf, et les droites T et d.
2 Réponse
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1. Réponse croisierfamily
Réponse :
Explications étape par étape :
■ f(x) = Ln (1 + e^x) sur IR
■ Lim f(x) pour x --> -∞ :
Lim f(x) = Lim Ln1 = 0
la courbe admet une asymptote horizontale
à gauche (confondue avec l' axe des abscisses)
■ Lim f(x) pour x --> +∞ :
Lim f(x) = Lim Ln(e^x) = Lim x = +∞
la courbe admet une asymptote oblique
à droite d' équation ( y = x )
■ dérivée f ' (x) :
f ' (x) = (e^x) / (1 + e^x) toujours positive !
■ tableau :
x --> -∞ -1 0 10 +∞
variation -> croissante
f(x) --> 0 0,3 Ln2 10 +∞
■ f(x) = m positif admet bien une solution UNIQUE
puisque la fonction f est STRICTEMENT croissante sur IR .
■ Tangente au point (0 ; Ln2) :
f ' (0) = 1/2 = 0,5
donc l' équation de la Tangente est :
y = 0,5x + Ln2 .
qui passe par les points (0;Ln2) et (10 ; 5,7)
■ courbe Cf au-dessus de la droite ( y = x ) ?
f(x) > x donne Ln (1 + e^x) > x
1 + e^x > e^x
1 > 0
cette inégalité est toujours vraie
donc Cf est bien au-dessus de la droite ( y = x ) .
■ remarque pour x = 25,5 :
f(25,5) ≈ 25,5
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