Bonjour pouvez vous m'aidez s'il vous plaît. Soit a un nombre positif. calculer la hauteur dun triangle equilateral de cote a et demontrer quelle est egale à [t

bjr

voir image

ABC est équilatéral, de côté a

CH est la hauteur relative au côté [BC]

Triangle CHB

le triangle CHB est rectangle en H       (hauteur)

CB = a    (hypothèse)

HB = a/2   (dans un triangle équilatéral une hauteur est aussi médiatrice)

on utilise le théorème de Pythagore

CB² = CH² + HC²

a² = CH² + (a/2)²

CH² = a² - a²/4

CH² = 4a²/4  -  a²/4

CH² = 3a²/4

CH = √(3a²/4)

CH = (a√3)/2

Réponse :

Bonjour,

Avant tout, mieux vaut établir un schéma comme dans la pièce-jointe.

Soit ABC le nom du triangle équilatéral.

On sait qu'un triangle équilatéral possède 3 côtés de même longueur.

D'où AB = BC = AC = a

Les hauteurs d'un triangle équilatéral coincident avec leur médiatrice (qui passe perpendiculairement par le milieu d'un côté).

On notera I le point d'intersection de la hauteur issue de B avec AC.

On obtient alors le triangle ABI rectangle en I tel que:

• AB = a

• [tex]AC = \dfrac{a}{2}[/tex]

D'après le théorème de Pythagore:

[tex]AB^2 = BI^2 + AI^2\\\\\Leftrightarrow BI^2 = AB^2 - AI^2\\\\\Leftrightarrow BI^2 = a^2 - \left(\dfrac{a}{2}\right)^2\\\\\Leftrightarrow BI^2 = \dfrac{4a^2}{4} - \dfrac{a^2}{4}\\\\\Leftrightarrow BI^2 = \dfrac{3a^2}{4}[/tex]

Et comme BI est une longueur, alors elle est positive.

[tex]BI = \sqrt{\dfrac{3a^2}{4}} = \dfrac{\sqrt{3} \times \sqrt{a^2} }{\sqrt{4}} = \dfrac{a\sqrt{3} }{2}[/tex]