Quelqu’un pour résoudre cet exercice de trigonométrie. Merci pour toute aide éventuelle !

Réponse : Je trouve une aire de [tex]\sqrt{3} - \frac{pi}{2}[/tex] soit environ 0,161

Explications étape par étape

Tout d'abord, j'ai imaginé l'existence d'un triangle équilatéral reliant le centre des 3 cercles. On a donc un triangle de côté 2 (1 rayon de cercle + 1 autre).

Calculons l'aire de ce triangle: A_T = [tex]\sqrt{3}[/tex] * côté²/4 = [tex]\sqrt{3}[/tex] * 1 = [tex]\sqrt{3}[/tex]

On a désormais l'aire du triangle, mais il reste 3 petites parties de chaque cercle à retirer à cette aire pour avoir l'aire centrale.

On va trouver l'aire d'une petite partie de cercle.

Raisonnons à partir de l'aire d'un cercle : A_C = pi [tex]r^{3}[/tex] = pi

Or on sait qu'un cercle à un angle d'ouverture de 2pi.

Il faut trouver l'angle d'ouverture de la petite partie de cercle.

Un triangle équilatéral a 3 mêmes angles, notons cet angle β, on a:

3β = pi (car la somme de chaque angle d'un triangle est égale à pi)

On a ainsi un angle d'ouverture de β = pi/3 pour la petite partie de cercle.

On fait maintenant une règle de trois :

2pi <=> A_C = pi

pi/3 <=> pi/6 = A_petite_partie_C

On a donc désormais tout ce qu'il nous faut pour calculer l'aire du milieu.

On A_milieu = A_T - 3*A_petite_partie_C = [tex]\sqrt{3} - \frac{pi}{2}[/tex]

(aire du triangle équilatéral auquel on retire l'aire des 3 petites parties de chaque cercle).