Bonjour ! j’ai besoin d’une aide svp pour mon petit dm de maths : j’ai mis un max de points ! merci d’avance :))

Réponse :

Bonjour

Explications étape par étape

1)

f '(x)=2x+1-1/x²

On réduit au même dénominateur :

f '(x)=(2x³+x²-1) / x²

f '(x)=g(x) / x²

2)

a)

g '(x)=6x²+2x

g '(x) est < 0 entre les racines car le coeff de x² est > 0.

g '(x)=2x(3x+1)

Racines : x=0 et x=-1/3

x-------->-∞....................-1/3.................0..................+∞

g '(x)---->...........+............0............-.......0.........+......

g (x)---->-∞...........C.........?............D......-1......C..........+∞

C=flèche qui monte et D=flèche qui descend.

g(-1/3) ≈ -0.963

b)

D'après ce tableau sur ]-∞;0] , g(x) est continue et reste dans les valeurs négatives . Donc d'après le théorème des valeurs intermédiaires , il n'existe pas de valeur α telle que g(α)=0.

Sur [0;+∞[ , g(x) est continue et strictement croissante donc d'après le théorème des valeurs intermédiaires , il existe un unique réel  α tel que g(α)=0.

g(0)=-1 et g(1)=2 donc :

-0 < α < 1

c)

x------>-∞.................................α........................+∞

g(x)--->...............-....................0............+..............

3)

f '(x)=g(x)/x² donc f '(x) est du signe de g(x).

x------->-∞..........................0.......................α......................+∞

f '(x)--->.............-...........................-.............0.........+.............

f(x)---->............D...............||...........D.........f(α).......C..........

D=flèche qui descend et C=flèche qui monte.

4)

a)

I(-1;-1) et J(1;3)

b)

(IJ) a pour équa : y=ax+b avec a=(3-(-1)) / (1-(-1))=2

y=2x+b qui passe par J(1;3) donc on peut écrire :

3=2*1+b  ==>b=1

(IJ) ==> y=2x+1

Equation de la tgte en J :

y=f '(1)(x-1)+f(1)

f '(1)=2 et f(1)=3

y=2(x-1)+3

Tangente : y=2x+1

On a bien les mêmes équations.

c)

Tgte en I :

y=f '(-1)(x+1)+f(-1)

f '(-1)=-2 et f(-1)=-1

y=-2(x+1)-1

y=-2x-3

d)

Voir graph joint.