Bonsoir, Je voudrais savoir comment démontrer cette récurrence Voici l’énoncé U(0) = V(0) = 1 Un+1 = Un + Vn Vn+1 = 2Un+Vn Un et Vn sont strictement positives V

Bjr, si je résume nous avons deux suites définies par

[tex]u_0=v_0=1\\\\u_{n+1}=u_n+v_n\\\\v_{n+1}=2u_n+v_n[/tex]

pour tout n entier non nul

et nous avons pour tout n

[tex]u_n>0\\\\v_n>0\\\\v_n \geq 1[/tex]

et nous voulons démontrer par récurrence que

[tex]\forall n \in \mathbb{N}\\\\u_{n} \geq n+1[/tex]

Initialisation

C'est vrai au rang 0 car

[tex]u_0 =1 \geq 0+1=1[/tex]

Hérédité

Prenons p un entier non nul quelconque et supposons que cela soit vrai au rang p, donc

[tex]u_{p} \geq p+1[/tex]

Comme [tex]v_p \geq 1[/tex], nous avons

[tex]u_{p+1}=u_{p}+v_{p} \geq u_{p}+1[/tex]

Utilisons l'hypothèse de récurrence, cela donne

[tex]u_{p+1}=u_{p}+v_{p} \geq u_{p}+1 \geq (p+1)+1[/tex]

donc c'est vrai au rang p+1

Conclusion

Nous venons de démontrer par récurrence que

[tex]\forall n \in \mathbb{N}\\\\u_{n} \geq n+1[/tex]

Merci