Bonsoir Je suis en terminale (ancienne S) et j'ai besoin d'aide pour cet exercice. Je vous remercie par avance.

Réponse :

Explications étape par étape :

■ bonjour Soda de régime ! ☺

■ pour 0 < x < 1 :

  Ln(x) est négatif --> donc Ln(x) < x .

  pour x = 1 : Ln1 = 0 < 1

  pour x > 1 : Ln(x) < x est évident

  conclusion :

  on a bien Ln(x) < x pour x strictement positif

■ 2°) f(1) = Ln1 / 1 = 0/1 = 0

■ 3a) f ' (x) = [ (x^k)/x - k(x^(k-1))*Ln(x) ] / x^(2k)

                 = [ 1/x - k Ln(x) /x ] / x^k

                 = [ 1 - k Ln(x) ] / (x^(k-1))

         cette dérivée est nulle pour k Ln(x) = 1

                                                            Ln(x) = 1/k

                                                                x = exp(1/k) .

         Le Maximum cherché est donc :

         M ( exp(1/k) ; 1/(k*exp(1/k)^k) ) .

■ 3b) l' asymptote est verticale pour x positif voisin de 0

                   ( x = 0 )

         l' asymptote est l' axe des abscisses pour x --> + ∞

                   ( y = 0 )

■ Tu tentes la partie B ?

■ remarque :

pas de développement limité pour Ln(x) au voisinage de zéro ♥