Bonjour pouvez vous m'aider pour la partie B de cet exercice ? Merci d'avance.​

Réponse :

Bonjour

Explications étape par étape

Partie B :

1)

f(x)=(x+2)exp(-x)

Une exponentielle est tjrs ≠ 0 donc f(x)=0 donne :

x+2=0 soit x=2 , seule solution de f(x)=0.

2)

f(x) est de la forme u*v avec :

u=x+2 donc u'=1

v=exp(-x) donc u'=-exp(-x)

f '(x)=u'v+uv'=exp(-x)-(x+2)exp(-x)

f '(x)=exp(-x)[1-(x+2))

f '(x)=exp(-x)(-x-1)

f '(0)=exp(0)*(-1)=1*(-1)=-1 ==>coeff directeur de la tgte en x=0.

f '(-1)=exp(1)*0=0 ===>tgte horizontale en x=-1.

3)

Une exponentielle est tjrs > 0 donc f '(x) est du signe de (-x-1).

-x-1 > 0 ==> x < -1

Variation :

x------->-∞.......................-1........................+∞

f '(x)---->..........+..............0........-.............

f(x)---->..........C................e.........D............

C=flèche qui monte et D=flèche qui descend.

f(-1)=(-1+2)exp(1)=exp(1)=e

On a donc :

f(x)=(x+2)exp(-x) et f(x)=0 pour x=-2.

L'exponentielle est tjrs > 0.

Quand x < - 2 , le facteur (x+2) est < 0 .

Quand x > -2 , le facteur (x+2) est > 0.

Tableau de signes :

x------------>-∞.................-2..................+∞

f(x)------->.............-...........0........+..........