Bonjour, pourriez vous m'apporter votre aide pour cet exercice? on définit la suite (un)  par: uo=13, pour tout entier naturel n, un+1=1/5un + 4/5 la suite (Sn)

Bonjour
-Montrer par récurrence que Un= 1+12/(5^n)
Initialisation
U0=13
1+12/(5^0)=13, donc la propriété est vraie au rang 0
hérédité
supposons Un= 1+12/(5^n) et montrons que U(n+1)=Un= 1+12/(5^(n+1))
U(n+1)=1/5Un + 4/5= 1/5*(1+12/(5^n))+4/5=1/5+ (1/5)*12/(5^n)+4/5
=1+12/(5^(n+1))
donc la propriété est héréditaire, donc vérifiée.

-déduire la limite de la suite Un
5^n tend vers l'infini
donc 12/5^n tend vers 0
donc 1+12/5^n tend vers 1
donc Un tend vers 1

-determiner le sens de variation de Sn
S(n+1)=Sn+U(n+1)=Sn+1+12/(5^(n+1))
or 1+12/(5^(n+1))>0
donc S(n+1)>Sn
donc Sn croissante

-Calculer Sn en fonction de n
Sn= Sigma(k=o à n) 1+12/5^k
= Sigma(k=o à n) 1 +Sigma(k=o à n) 12/5^k
12/5^k=12*(1/5)^k, suite géométrique de premier terme 12, et de raison 1/5
donc Sigma(k=o à n) 12/5^k= 12*(1-(1/5)^(k+1))/(1-1/5)
=12*(1-(1/5)^(k+1))/(4/5)=15*(1-(1/5)^(k+1))
Sigma(k=o à n) 1=n+1
donc Sn= n+1+15*(1-(1/5)^(k+1))

-determiner (limite?) de la suite  Sn
(1/5)^(k+1) tend vers  0
donc 1-(1/5)^(k+1) tend vers 1
donc 15*(1-(1/5)^(k+1)) tend vers 15
n tend vers l'infini.
Donc Sn tend vers l'infini