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Question

Bonjour , voici un exercice type première , merci pour votre aide.

On considère le demi-cercle C de diamètre [AB] avec AB=6.

H est un point du segment [AB] distinct de A et de B. On note x le longueur AH. La perpendiculaire en H à (AB) coupe C en M . K est le pied de la hauteur issue de H dans le triangle MHB.

On souhaite déterminer pour quelle(s) position(s) de H sur ]AB[ le segment [HK] a une longueur maximale .
On note HK= f(x).

1. (a) En exprimant cos(BAM) de deux manières différentes , montrer que AM= √6x.

(b) Justifier le parallélisme de (HK) et de (AM) et en déduire que f(x)= √6/6 (6-x)√x.

2. (a) f est définie et dérivable sur ]0;6[ . Exprimer f’(x).

(b) En déduire les variations de f en conclure .
Bonjour , voici un exercice type première , merci pour votre aide. On considère le demi-cercle C de diamètre [AB] avec AB=6. H est un point du segment [AB] dist

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1 Réponse

  • Réponse :

    Explications étape par étape

    1)

    cos(bam) = adjacent / hypo dans AMB ==> MB / AB = MB / 6

                       adjacent/ hypo dans HBM ==> HB / BM = 6-x / BM

    MB / 6 = 6-x / BM

    ===> BM² = 6(6-x)

    Pythagore dans AMB ==>  AM² = AB² - MB²

    AM² = 36 - 6(6-x) = 36-36-6x = 6x ===> AM = [tex]\sqrt{6x}[/tex]

    2) Demi cercle de diametre AB

    Theoreme du cercle

    Point M ∈ au demi cercle de diametre AB qui est un côté du triangle ==> le triangle AMB est rectangle an M    ==> AM perpendiculaire à MB et HK perpendiculaire à MB ====>

    AM et HK sont paralelle.

    Appliquer thales pour trouver HK = f(x)

    HK / AM = HB / AB ====>  HK = [tex]\frac{\sqrt{6x}(6-x) }{6}[/tex]

    2) dérivée =  appliquer dérivée d'un produit (u v)' = u'v + uv'

    rapel = [tex]\sqrt{x} = x^{\frac{1}{2} }[/tex]

    ==> f'(x) = [tex]\sqrt{6x}+ \frac{3(6-x)}{\sqrt{6x} }[/tex]   ( suis pas sur dérivée à vérifier)

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