Bonjour voici un exercice type première pour lundi , merci d'avance : Soit f la fonction définie sur R par : f(x)= x^3/6 -x +8/3 1. Étudier les variations de f

Réponse :

Explications étape par étape

Réponse :

salut

f(x)= (x^3/6)-x+(8/3)

1) la dérivée

f'(x)= (3x²/6)-1

    = (x²-2)/2

on résout x²-2=0

x= -racine(2)   et x=racine(2)

x= -1.41   ou x=1.41

tableau ( signe de a sauf entre les racines)

x           -oo           -1.41              1.41            +oo

f '(x)               +        0         -         0         +

(reste à mettre les flèches et les valeurs)

2) tangente au point d'abscisse 2

f(2)= 2      f ' (2)=1    ( f'(a)(x-a)+f(a)

1(x-2)+2  = x

la tangente à pour équation y=x

pour étudier la position relative de la droite et de la courbe il faut

faire f(x)-x

(x^3/6)-x+(8/3)-x

= (x^3-12x+16)/6

x^3-12x+16 s'annule en 2 donc factorisable par

(x-2)(ax²+bx+c)

on développe

ax^3-2ax²+bx²-2bx+cx-2c

on range

ax^3+(-2a+b)x²+(-2b+c)x-2c

identification des coefficients

ax^3+(-2a+b)x²+(-2b+c)x-2c= x^3-12x+16

a=1

-2a+b=0

-2b+c=-12

-2c=16

a=1 , b=2  , c=-8

x^3-12x+16= (x-2)(x²+2x-8)

on résout

x²+2x-8=0

delta>0 2 solutions x1= -4  et x2=2

x^3-12x+16= (x-2)(x+4)(x-2)

tableau de signe

x         -oo            -4            2            +oo

x+4             -         0      +           +

x-2             -                 -       0    +

x-2             -                  -        0    +    

expr            -      0      +      0      +

f < T de ] -4 ; +oo]

f > T de [-oo ; -4 ]

Explications étape par étape