salut aidé moi a résoudre cette équation svp:cos2x+cos6x=1+cos8x​

Réponse :

Explications étape par étape

Bonsoir, tu peux utiliser les relations d'Euler et Moivre :

cos(2x) + cos(6x) = Re(exp(i*2x)) +Re(exp(i*6x)) = Re(exp(i*2x) + exp(i*6x))

= Re(exp(i*4x)*[exp(i*(-2x)) + exp(i*2x)]) (factorisation par l'angle moitié)

= Re(exp(i*4x)*2*cos(2x)) = 2*cos(2x)*Re(exp(i*4x)) = 2*cos(2x)*cos(4x).

Ensuite : cos(8x) = cos(2*4x) = cos²(4x) - sin²(4x) = 2*cos²(4x) - 1.

Ainsi : 1 + cos(8x) = 2*cos²(4x).

Par conséquent, il faudra résoudre l'équation suivante :

2*cos(2x)*cos(4x) = 2*cos²(4x), qui équivaut à :

cos²(4x) - cos(4x)*cos(2x) = 0

<==> cos(4x)*[cos(4x) - cos(2x)] = 0.

Ainsi, 2 possibilités :

cos(4x) = 0, qui équivaut à 4x = pi/2 + k*pi (k entier relatif), d'où x = pi/8 + k*pi/4.

Ou : cos(4x) = cos(2x) <==> 4x = 2x + 2*k*pi, d'où 2x = 2*k*pi et x = k*pi (k € Z) et 4x = -2x + 2*k*pi, d'où 6x = 2*k*pi, puis x = k*pi/3.

Finalement, l'ensemble des solutions S sera :

S = {pi/8 + k*pi/4 ; k*pi ; k*pi/3 | k € Z}