Mathématiques

Question

DM de math terminal S =Raisonnement par récurrence
J'ai besoin d'aide pour la 5 et 6.Et pouvez-vous vérifier si les réponses ci dessous sont correctes.
3)(Un) est une suite géométrique car on multiplie chaque résultats précédents par 1/2.
Donc la raison est [tex] \frac{1}{2} [/tex]. (1/2) Et le premier terme est U0=1
4)Vn=Un-1/2
Vn+1=Un+1-1/2=( I/2Un+ 1/4)-1/2
=1/2Un-1/4
Vn est géométrique de raison 1/2
Et j'ai pas trouver le premier terme ,o comment en déduire l'expression Vn en fonction de n
DM de math terminal S =Raisonnement par récurrence J'ai besoin d'aide pour la 5 et 6.Et pouvez-vous vérifier si les réponses ci dessous sont correctes. 3)(Un) e

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1 Réponse

  • 3) La suite Un n'est ni arithmétique, ni géométrique car :
    Un+1-Un=1/2*Un+1/4-Un=1/4-1/2*Un : non constant donc la suite n'est pas arithmétique
    (Un+1)/Un=1/2+1/4Un : non constant donc la suite n'est pas géométrique.

    4)a) Ta démonstration n'est pas complète :
    Il faut calculer [tex] \frac{V_{n+1}}{V_{n}} [/tex]

    Vn+1=Un+1-1/2=1/2*Un+1/4-1/2=1/2*Un-1/4=1/2*(Un-1/2)=1/2*Vn

    Donc [tex] \frac{V_{n+1}}{V_{n}}=\frac{1}{2} [/tex]

    Vo=Uo-1/2=1-1/2=1/2
    Donc Vn est géométrique de raison 1/2 et de premier terme 1/2

    b) [tex]V_{n}= \frac{1}{2}*(\frac{1}{2})^{n}=(\frac{1}{2})^{n+1} [/tex]

    5) Vn+1/Vn=1/2<1 donc quelque soit n Vn+1<Vn
    Vn est décroissante.
    Un=Vn+1/2 donc Un est aussi décroissante

    6) Sn=Uo+...+Un=Vo+...+Vn+n*(1/2)=Vo+....+Vn+n/2
    Vo+....+Vn=[tex] \frac{1}{2} * \frac{1- (\frac{1}{2})^{n+1}}{1- \frac{1}{2}}=1-( \frac{1}{2})^{n+1} [/tex]

    Donc [tex]Sn=1-(\frac{1}{2})^{n+1}+ \frac{n}{2} [/tex]

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