Bonjour, j'aurais besoins de votre aide pour cette question. Soit f la fonction définie sur R* par f(x)=(2+x)^3/(2x^2) Étudier ses variations sur R*​

Réponse :

Bonjour

Explications étape par étape

f(x)=(2x+3)³/2x²

f(x) est de la forme u/v.

Mais u=w³ et la dérivée de w³ est : 3w'*w².

Ici w=2x+3 donc w'=2

Donc :

u=(2x+3)³ donne u'=3*2(2x+3)² soit u'=6(2x+3)²

v=2x² donne v'=4x

f '(x)=(u'v-uv')/v²

f '(x)=[6*2x²*(2x+3)²-4x(2x+3)³] / (2x²)²

f ' (x)=[12x²(2x+3)²-4x(2x+3)³ / 4x^4

On va mettre (2x+3)² en facteur au numérateur :

f '(x)={(2x+3)²[12x²-4x(2x+3)] }/ 4x^4

f '(x)=[(2x+3)²(12x²-8x²-12x) ] / 4x^4

f '(x)=[(2x+3)²(4x²-12x)] / 4x^4

f '(x)=[(2x+3)²(4x)(x-3)] / 4x^4

f '(x)=[4x(2x+3)²(x-3)] / 4x^4

Donc f '(x) est du signe de 4x(x-3) car les facteurs (2x+3)² et 4x^4 sont ≥ 0.

Dans le tableau on mettra les valeurs : -3/2 qui donne 2x-3=0 puis 0 et 3.

Si tu as vu les tangentes , tu peux remarquer que pour x=-3/2 et x=3 , on aura une tangente horizontale car pour ces deux valeurs f '(x)=0.

Variation :

x-------------->-∞....................-3/2.............0................3...................+∞

x------------->...........-.......................-.........0........+...............+.............

(2x+3)²---->..........+..............0.........+................+.................+..............

(x-3)------->..........-........................-..................-..........0.........+...........

f '(x)------>...........+...............0..........+.......||.......-........0..........+..........

f(x)------->.........C.................0.........C........||.......D......40.5.........C...........

C=flèche qui monte et D=flèche qui descend.

Si on fait un tableau de valeurs pour vérifier ce tableau de variation , on trouve :

f(-4) = -3.906

f(-3/2)=0  : On a bien croissance.

f(-1) = 0.5 : Tjrs croissance.

f(1) = 62.5

f(3) = 40.5 : On a bien décroissance

f(4)= 41.594 : croissance de nouveau.

Je te joins un graph non demandé.