Bonjour, quelqu’un peut m’aider à résoudre cette exercice svp !! Je n’y arrive pas ...

Réponse :

soit f la fonction définie sur  R \ {3} par f(x) = - x/(x - 3)

1) en utilisant le graphique précédent, résoudre :

a) f(x) ≤ 1   donc l'ensemble des solutions  S = ]- ∞ ; 1.5]U]3 ; + ∞[

b) f(x) > - x  ⇔  S = ]0 ; 3[U]4 ; + ∞[

2) résoudre ces équations par le calcul

f(x) ≤ 1  ⇔ - x/(x-3) ≤ 1  ⇔  - x/(x-3) - 1 ≤ 0  ⇔ (- x - (x - 3))/(x - 3) ≤ 0

⇔ (- 2 x + 3)/(x - 3) ≤ 0

Tableau de signes

     x     - ∞            3/2             3            + ∞

- 2 x+3           +       0        -              -  

 x-3               -                   -      ||      +

   Q               -         0       +      ||       -

l'ensemble des solutions est :  S = ]- ∞ ; 3/2]U]3 ; + ∞[

b)  f(x) > - x   ⇔ - x/(x-3) > - x  ⇔ - x/(x-3) + x > 0  ⇔ (- x + x(x - 3))/(x - 3) > 0

⇔ (x² - 4 x)/(x - 3) > 0  ⇔ x(x - 4)/(x - 3) > 0

tableau de signes

        x     - ∞             0                3                4           + ∞  

        x               -       0        +                +               +

      x - 4           -                  -                 -        0      +

      x - 3           -                  -       ||         +                +          

        Q              -         0      +      ||          -        0       +

L'ensemble des solutions est :  S = ]0 ; 3[U]4 ; + ∞[  

Explications étape par étape