bonsoir svpl cet exercixe j en ai vraiment besoin merci bcp Exercice 8. On considère dans le plan le cercle (C) d'équation carte- sienne x² + y² – 4x+3=0 1. Dét
Question
Exercice 8.
On considère dans le plan le cercle (C) d'équation carte-
sienne
x² + y² – 4x+3=0
1. Déterminer le centre et le rayon du cercle (C).
2. On considère la droite (Dm) : y = x + m avec
m appartien a R
(a) Étudier l'intersection du cercle (C) et la droite
(D).
(b) Soit Im le milieu du segment (MM') tel que M
et M' sont les points d'intersection du cercle (C)
et la droite (Dm).
Trouver les coordonnées du point Im, puis dé-
terminer l'ensemble des points Im quand m va-
rie sur R.
1 Réponse
-
1. Réponse croisierfamily
Réponse :
Explications étape par étape
■ équation du Cercle :
(x-2)² + y² = 1
Centre (2 ; 0) ; Rayon = 1 .
■ intersection Cercle-droite :
y² = 1 - (x-2)² et y² = x² + 2mx + m²
on doit donc résoudre :
1 - x² + 4x - 4 = x² + 2mx + m²
2x² + 2mx - 4x + m² + 3 = 0
2x² + 2(m-2)x + (m²+3) = 0
discriminant Δ = 4(m-2)² - 8(m²+3)
= 4m² - 16m + 16 - 8m² - 24
= -4m² - 16m - 8
= -4(m² + 4m +2)
racines : m1 = -2-√2 ; m2 = -2+√2
■ étude du signe du discriminant :
m --> -∞ -2-√2 -2+√2 +∞
Δ --> - 0 + 0 -
■ conclusion :
il faut m ∈ [ -2-√2 ; -2+√2 ] pour avoir une intersection
■ exemple avec m = -1 :
2x² - 6x + 4 = 0 donc x² - 3x + 2 = 0
(x-1) (x-2) = 0
d' où les points d' intersection : J (1 ; 0) et K (2 ; 1) .
conclusion : le milieu cherché (1,5 ; 0,5) .
■ exemple avec m = -2 :
2x² - 8x + 7 = 0
milieu cherché (2 ; 0)
■ exemple avec m = -3 :
2x² - 10x + 12 = 0 donc x² - 5x + 6 = 0
(x-2) (x-3) = 0
L (2 ; -1) et M (3 ; 0)
milieu cherché (2,5 ; -0,5)
■ conclusion :
l' ensemble des milieux est le segment d' équation y = 2 - x .