Bonjour j’ai un DM de maths et je bloque sur un exercice le voici : Soit f la fonction définie sur R par f(x)=1-x²et Cf sa courbe représentative dans un repère
Question
Soit f la fonction définie sur R par f(x)=1-x²et Cf sa courbe représentative dans un repère du plan.
A est un point de Cf d'abscisse ª telle que 0⩽ª⩽1.
La tangente à Cf au point A coupe l'axe des abscisses en N et l'axe des ordonnées en M.
Quelle doit être la valeur de ª afin que l'aire du triangle OMN soit minimale ?
Voilà je ne sais pas du tout comment procéder pour trouver le résultat j’ai penser à calculer la dérivée de la fonction et faire le tableau de variation mais voila tout car on ne l’a jamais fait en cours. Si quelqu’un pourrait m’aider svp.
1 Réponse
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1. Réponse Tenurf
Bjr
On va déjà commencer par trouver l'équation de la tangente à Cf au point A qui a pour coordonnées a et
[tex]f(a)=1-a^2[/tex]
f est dérivable et pour tout x réel
[tex]f'(x)=-2x[/tex]
donc l 'équation de la tangente à Cf en A est
[tex]y-f(a)=f'(a)(x-a)\\\\y-1+a^2=-2a(x-a)=-2ax+2a^2\\\\\iff y = -2ax+2a^2+1-a^2\\\\\iff y = -2ax +a^2+1[/tex]
du coup, le point N a pour coordonnées [tex]x_N[/tex] tel que
[tex]-2ax_N+a^2+1=0\\\\x_N=\dfrac{1+a^2}{2a}[/tex]
Le point M a pour coordonnées 0 et [tex]y_M[/tex]
[tex]y_M=-2a\times 0 + 1 + a^2=1+a^2[/tex]
LE triangle OMN est rectangle donc son aire est
[tex]\dfrac{1}{2}\times \dfrac{1+a^2}{2a}\times 1+a^2=\dfrac{(1+a^2)^2}{4a}[/tex]
Donc maintenant on peut poser la fonction g telle que pout tout a réel >0
[tex]g(a)=\dfrac{(1+a^2)^2}{a}[/tex]
Etudier cette fonction et trouver pour quelle valeur de a elle est minimale.
g est dérivable et pour tout a > 0
[tex]g'(a)=\dfrac{2(1+a^2)\times 2a\times a -(1+a^2)^2}{a^2}\\\\=\dfrac{(1+a^2)(3a^2-1)}{a^2}\\\\g'(a)=0 \iff 3a^2=1 \iff a=\dfrac{1}{\sqrt{3}}[/tex]
le signe de g' donne que g est décroissante de
[tex]\left ]0;\dfrac{1}{\sqrt{3}}\right ][/tex]
et croissante ensuite
donc le minimum est atteint en
[tex]a=\dfrac1{\sqrt{3}}[/tex]
Merci