Bonsoir à tous pourriez vous me faire ce problème s'il vous plaît j'ai vraiment besoin d'aide car j'ai un contrôle demain, merci d'avance. ​

Réponse :

Explications étape par étape

1) pour résoudre f(x) = 0 graphiquement  tu dois regarder les points d'intersection entre la courbe et l'axe des abscisses.

par le calcul :   propriété de collège : si  a x  b = 0  alors soit a =0 soit b =0

tu résous donc séparément les 2 équations :  (x - √3) = 0   et   (x + √3) = 0

2) j'ose espérer que tu sais tracer une droite d'équation donnée ?  g(x) = x

indication :  il te faut 2 points donc tu choisis 2 valeurs de x et tu calcules la valeur de g(x) correspondante...

résoudre  f(x) > g(x)   reviens à   x³ - 4x > 0    qu'il faut factoriser ...

x³ - 4x = x (x² - 4 )  =   identité remarquable...  =  x ( x-2) (x+2)

reste à étudier le signe de cette expression à l'aide d'un grand et beau tableau de signe...

à vérifier graphiquement ensuite.

3) trouves toutes les droites horizontales qui touchent 3 fois la courbe...

perso graphiquement j'obtiens l'intervalle [-2 ; 2] .

Bonjour,

Je ne suis pas sur que te résoudre cet exercice te permettra de réussir ton contrôle mais je vais essayer d'expliquer au maximum la démarche.

1) Pour résoudre graphiquement, f(x) = 0, on regarde en quels points [tex]C[/tex] coupe l'axe des abscisses, on voit donc que f(x) = 0 admet 3 solutions, à savoir [tex]-1,7[/tex] ( la valeur exacte est [tex]-\sqrt{3}[/tex]), 0 et 1,7 (valeur exacte [tex]\sqrt{3}[/tex])

Par la calcul, on peut remarquer factoriser par [tex]f(x)[/tex]  par [tex]x[/tex], on trouve donc

[tex]f(x) = x(x^2 - 3)[/tex]

Puis on remarque que [tex]x^2 - 3[/tex] est une identité remarquable de la forme [tex]a^2 - b^2[/tex] où [tex]a = x[/tex] et [tex]b = \sqrt{3}[/tex] et donc [tex]x^2 - 3 = x^2 - (\sqrt{3})^2 = (x - \sqrt{3})(x + \sqrt{3})[/tex]

et donc finalement,

[tex]f(x) = x(x - \sqrt{3})(x + \sqrt{3})[/tex]

On sait que [tex]a\cdot b = 0 \Leftrightarrow a = 0 \ ou \ b = 0[/tex]

donc  [tex]f(x) = 0 \Leftrightarrow x(x - \sqrt{3})(x + \sqrt{3}) = 0 \Leftrightarrow x = 0 \ ou \ x = \sqrt{3} \ ou \ x = -\sqrt{3}[/tex]

On retrouve bien les résultats de la lecture graphique.

2) Je pense qu'il n'y a aucun problème pour tracer [tex]g[/tex]  

Ensuite,

[tex]f(x) > g(x) \Leftrightarrow f(x) - g(x) > 0[/tex]

donc il suffit d'étudier le signe de la fonction

[tex]h(x) = f(x) - g(x) = x^3 - 3x - x = x^2 - 4x[/tex]

On va d'abord déterminer les racines de [tex]h[/tex] de la même manière que pour la question 1 :

[tex]h(x)= x^3 - 4x = x(x^2 - 4) = x(x^2 - 2^2) = x(x-2)(x+2)[/tex]

Les racines sont donc -2, 0 et 2.

A l'aide d'un tableau de signe, on trouve que [tex]h[/tex] est positive sur [tex]]-2,0[\cup]2,+\infty[[/tex] et donc [tex]f[/tex] est strictement supérieur à [tex]g[/tex] sur cette même réunion d'intervalles.

On retrouve le même résultat graphiquement.

3) On remarque graphiquement que [tex]m[/tex] admet 3 antécédents si :  [tex]m \in ]-2, 2[[/tex]