Soit n un entier relatif. Démontrer que (n+2)² et (n+3)(n+1) sont premiers entre eux. Bonjour, pouvez vous m’aidez svp. Merci.

Réponse :

Explications étape par étape

Bonsoir,

Il faut utiliser le théorème de Bézout :

a et b son premiers entre eux si il existe un couple de 2 entiers relatifs  u et v tels que

au + bv = 1

(n+2)² = n² + 4n + 4 = a

(n+3)(n+1) = n² +n +3n +3 = n² +4n + 3

j'applique le théorème

u (n² + 4n + 4 ) + v ( n² + 4n +3 ) = 1

je dois eliminer les n² et le n , je pose v= -1 et developpe sans le u

n²+4n+4-n²-4n-3 ==>je peux jaouter le u ===> 4u-3 = 1

==> 4 u-3 = 1 ===> 4 u = 4 ==>> u = 1

Il existe un couple u et v ( 1 , -1 ) tel que u((n+2)²) + v ((n+3)(n+1)) = 1

a et b sont premiers entre eux