Bonjour, est-ce que c’est possible de m’aider sur un exercice en maths s’il vous plaît merci d’avance

Réponse :

Explications étape par étape :

■ f(x) = exp(x) + exp(-2x) sur IR

   la représentation graphique sur [ -2 ; +3 ]

■ dérivée f ' (x) = exp(x) - 2exp(-2x)

                         = exp(-2x) [ exp(3x) - 2 ]

  cette dérivée est positive si exp(3x) > 2

                                                         3x > Ln2

                                                           x > (Ln2)/3

                                                           x > 0,231   environ .

■ tableau :

   x --> -∞        -2           0         0,231         3        +∞

variation -> décroissante            |        croissante

f(x) --> +∞       54,7         2         1,89         20,1     +∞

■ primitive F(x) = exp(x) + c*exp(-2x) :

   F ' (x) = f(x) = exp(x) - 2c*exp(-2x) = exp(x) + exp(-2x)

                                     donc c = - 0,5

  d' où F(x) = exp(x) - 0,5*exp(-2x) .

■ Aire demandée = exp(1) - 0,5*exp(-2) - exp(0) + 0,5*exp(0)

                              ≈ e - 0,06767 - 1 + 0,5

                              ≈ e - 0,56767

                              ≈ 2,15 unité d' aire !

   la précision demandée aurait dû être "à 0,01 près" ! ☺