Est ce que quelqu’un pourrait m’aider à la résolution de cet exercice. Merci d’avance

Réponse :

Bonjour, je t'aider dans la résolution de cet exercice

Explications étape par étape

Soit la fonction: f ]0;+∞[⇒R

                          x⇒x^n(1-㏑(x))

1)a) Limite en 0:

On tombe sur une indétermination du type 0×∞. Cette indétermination peut être levée grâce au théorème des croissances comparées. La fonction x^n tends plus vite vers 0 que (1-ln(x)) vers +∞ donc on peut conclure que:

lim (x⇒0)fn(x)=0

Limite en +∞

[tex]\lim_{x \to +\infty} x^n=+\infty\\ \lim_{x \to +\infty} 1-ln(x)=-\infty[/tex]

On en déduit alors: [tex]\lim_{x \to +\infty} {x^n}*(1-ln(x))=-\infty[/tex]

b) On calcule d'abord la dérivée f'n(x), elle est du type uv donc la dérivée sera du type u'v+uv':

f'n(x)=n(x^(n-1))×(1-ln(x))+x^n×(-1/x)

f'n(x)=nx^(n-1)×(1-ln(x))-x^(n-1)

f'n(x)=x^(n-1)(n(1-ln(x))-1

On étudie maintenant le signe de la dérivée sur ]0;+∞[:

∀ nE N* et ∀ x∈ R*+, x^(n-1)>0 alors le signe de f'n(x) dépend de n(1-ln(x))-1.

n(1-ln(x))-1>0 si 1-ln(x)>1/n⇒ln(x)<1-1/n⇒x<exp(1-1/n) avec nEN* donc on en déduis que f'n(x)<0 si x∈]0-exp(1-1/n)[

donc fn(x) est croissante sur ]0; exp(1-1/n[

(n(1-ln(x)-1)<0 si x>exp(1-1/n) donc f'n(x)<0 si x∈]exp(1-1/n;+∞[

donc fn(x) est décroissante sur ]exp(1-1/n);+∞[

On en déduit alors le tableau de variations suivant:

             -∞                                     exp(1-1/n)                                       +∞

f'n(x)                          +                        0                               -

fn(x)                            ↑                 f(exp(1-1/n))                     ↓

2)a) Pour étudier ces positions, nous devons étudier le signe de fn+1(x)-fn(x):

fn+1(x)-fn(x)=x^(n+1)(1-ln(x))-x^n(1-ln(x))

fn+1(x)-fn(x)=x^n(1-ln(x))(x-1)

On va faire un tableau de signe:

                  0                1                    e                    +∞

x^n+1          0         +                  +                  +

x-1                          -      0          +                   +

1-ln(x)                      -                  -        0         +

fn+1(x)-fn(x)             +     0         -         0         +

En lisant le tableau, Cn+1 est au dessus de Cn sur ]0;1[∪]e;+∞[ et Cn+1 est en dessous de Cn sur ]1;e[

b) Pour trouver ces points, nous devons calculer:

fn+1(x)-fn(x)=0

fn+1(x)=fn(x)

Sur le tableau du 2)a), on a 2 points un d'abscisse 1 et un d'abscisse e

On va pourvoir calculer l'ordonnée:

fn(1)=1^n(1-ln(1))=1(1)=1

fn(e)=e^n(1-ln(e))=e^n(1-1)=0

On a donc les 2 points (1;1) et (e;0) (voir pièce jointe)

c) Les tangentes à des courbes sont des droites dont l'équation est du type: y=f'n(a)(x-a)+fn(a)

en a=1:

y=f'(1)(x-1)+fn(1)

y=[1^(n-1)(n(1-ln(1))-1](x-1)+1^n(1-ln(1))

y=(n-1)(x-1)+1

en a=e:

y=f'(e)(x-e)+f(e)

y=[e^(n-1)(n(1-ln(e)-1)](x-e)+e^n(1-ln(e))

y=-e^(n-1)(x-e)

3)a)fn admet son maximum lorsque f'n s'annule donc:

f'n(x)=0 si x=1-1/n (voir 1)b))

fn'(1-1/n)=0

3) Là, je ne sais pas, je te la laisse